ff1588d761d55f48f61a52249e1dcc24

<!DOCTYPE html>

<title>Irrationale Zahl</title>

</head>

<h1 id="firstHeading" class="firstHeading mw-first-heading">Irrationale Zahl</h1>

</header>

</div>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {R} \setminus \mathbb {Q} }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7b6fd71ef4234ec6b082406bf213894f4592bdf1.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:5.681ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {R} \setminus \mathbb {Q} }" loading="lazy"></div><div class="thumbcaption" style="text-align:center"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {R} \setminus \mathbb {Q} }">

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {R} \setminus \mathbb {Q} }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7b6fd71ef4234ec6b082406bf213894f4592bdf1.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:5.681ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {R} \setminus \mathbb {Q} }" loading="lazy"> steht für die Menge der irrationalen Zahlen innerhalb <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {R} }">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {R} }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/786849c765da7a84dbc3cce43e96aad58a5868dc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.678ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {R} }" loading="lazy">.<a href="#cite_note-1">[H 1]</a></div></div></div>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {C} \setminus \mathbb {Q} }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b9b035ddc01f3c2916495b9677bf5359c9577073.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:5.681ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {C} \setminus \mathbb {Q} }" loading="lazy"></div><div class="thumbcaption" style="text-align:center"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {C} \setminus \mathbb {Q} }">

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {C} \setminus \mathbb {Q} }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b9b035ddc01f3c2916495b9677bf5359c9577073.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:5.681ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {C} \setminus \mathbb {Q} }" loading="lazy"> steht für die Menge der irrationalen Zahlen innerhalb <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {C} }">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {C} }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f9add4085095b9b6d28d045fd9c92c2c09f549a7.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.678ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {C} }" loading="lazy">.</div></div></div>

In der <a href="Mathematik" title="Mathematik">Mathematik</a> heißt eine <a href="Reelle_Zahl" title="Reelle Zahl">reelle</a> oder <a href="Komplexe_Zahl" title="Komplexe Zahl">komplexe Zahl</a> irrational, wenn sie keine <a href="Rationale_Zahl" title="Rationale Zahl">rationale Zahl</a> ist. Kennzeichen einer irrationalen <a href="Zahl" title="Zahl">Zahl</a> ist also, dass sie nicht als <a href="Quotient" title="Quotient">Quotient</a> zweier <a href="Ganze_Zahl" title="Ganze Zahl">ganzer Zahlen</a> darstellbar ist.

In der <a href="Dezimalschreibweise" class="mw-redirect" title="Dezimalschreibweise">Dezimalschreibweise</a> werden irrationale Zahlen mit einer <a href="Dezimalbruch#Periode" title="Dezimalbruch">nicht-periodischen</a> <a href="Unendliche_Folge" class="mw-redirect" title="Unendliche Folge">unendlichen Folge</a> von Dezimalstellen dargestellt (z. B. 0,10110111011110…), d. h., sie sind unendliche nicht-periodische <a href="Dezimalbruch" title="Dezimalbruch">Dezimalbrüche</a>.

Wenngleich umgangssprachlich mit dem <a href="Wort" title="Wort">Wort</a> irrational etwas assoziiert wird, was gegen die „Ratio“, also gegen die <a href="Vernunft" title="Vernunft">Vernunft</a> gerichtet ist, so bezieht sich hier der <a href="Begriff" title="Begriff">Begriff</a> der irrationalen Zahl jedoch auf den Begriff „Ratio“ im Sinne eines Verhältnisses zweier Zahlen.<a href="#cite_note-2">[1]</a>

Bekannte irrationale Zahlen sind die <a href="Eulersche_Zahl" title="Eulersche Zahl">Eulersche Zahl</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\rm {e}}}">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\rm {e}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/8b822e4c5f3fdbac6efdd917dcd63032067a8106.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.032ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle {\rm {e}}}" loading="lazy"> und die <a href="Kreiszahl" title="Kreiszahl">Kreiszahl</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \pi }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \pi }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9be4ba0bb8df3af72e90a0535fabcc17431e540a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.332ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle \pi }" loading="lazy">, die darüber hinaus <a href="Transzendente_Zahl" title="Transzendente Zahl">transzendent</a> sind. Auch die <a href="Wurzel_2" class="mw-redirect" title="Wurzel 2">Quadratwurzel aus Zwei</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\sqrt {2}}}">

<msqrt>

</msqrt>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\sqrt {2}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b4afc1e27d418021bf10898eb44a7f5f315735ff.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:3.098ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle {\sqrt {2}}}" loading="lazy"> und das <a href="Verh%C3%A4ltnis_(Mathematik)" class="mw-redirect" title="Verhältnis (Mathematik)">Teilungsverhältnis</a> des <a href="Goldener_Schnitt" title="Goldener Schnitt">Goldenen Schnitts</a> sind irrationale Zahlen.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Definition">Definition</h2></div>

Eine <a href="Reelle_Zahl" title="Reelle Zahl">reelle Zahl</a> heißt irrational, wenn sie nicht als Bruch zweier <a href="Ganze_Zahl" title="Ganze Zahl">ganzer Zahlen</a> dargestellt werden kann; sie kann nicht als <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\tfrac {p}{q}}}">

<mfrac>

</mfrac>

</mstyle>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\tfrac {p}{q}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4b38d2684323653daafdd152b7e988594003897d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.338ex; width:1.663ex; height:3.676ex;" alt="{\displaystyle {\tfrac {p}{q}}}" loading="lazy"> mit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle p,q\in \mathbb {Z} ,\;q\neq 0}">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle p,q\in \mathbb {Z} ,\;q\neq 0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/20df0dd5b89c28d2d2b3199b015919342c64a506.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; margin-left: -0.089ex; width:14.763ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle p,q\in \mathbb {Z} ,\;q\neq 0}" loading="lazy"> geschrieben werden.

Im Gegensatz zu <a href="Rationale_Zahl" title="Rationale Zahl">rationalen Zahlen</a>, die als endliche oder periodische <a href="Dezimalzahl" title="Dezimalzahl">Dezimalzahlen</a> dargestellt werden können, sind irrationale Zahlen solche, deren Dezimaldarstellung weder abbricht, noch periodisch ist.

Es gibt zwei Arten von Irrationalzahlen:

<ul><li><a href="Algebraische_Zahl" title="Algebraische Zahl">Algebraische Zahlen</a>, etwa <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 1+{\sqrt[{3}]{5}}}">

<mroot>

</mrow>

</mroot>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 1+{\sqrt[{3}]{5}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e9c19b9825168210bb0efc208ecdca59586204a2.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:7.101ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle 1+{\sqrt[{3}]{5}}}" loading="lazy"> oder quadratische <a href="Wurzel_(Mathematik)" title="Wurzel (Mathematik)">Wurzeln</a> aus Nicht-<a href="Quadratzahl" title="Quadratzahl">Quadratzahlen</a> wie <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\sqrt {2}}}">

<msqrt>

</msqrt>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\sqrt {2}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b4afc1e27d418021bf10898eb44a7f5f315735ff.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:3.098ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle {\sqrt {2}}}" loading="lazy">

<ul><li>algebraische irrationale Zahlen, die quadratische Gleichungen lösen, nennt man quadratisch irrationale Zahlen</li></ul></li>

<li><a href="Transzendente_Zahl" title="Transzendente Zahl">Transzendente Zahlen</a>, etwa die <a href="Kreiszahl" title="Kreiszahl">Kreiszahl</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \pi =3{,}14159\ldots }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \pi =3{,}14159\ldots }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/cbc665f4d35bb53d285e908662aa1921975bb8f2.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:15.162ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \pi =3{,}14159\ldots }" loading="lazy"> oder die <a href="Eulersche_Zahl" title="Eulersche Zahl">Eulersche Zahl</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\rm {e=2{,}71828\ldots }}}">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\rm {e=2{,}71828\ldots }}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/decdacaa8d0b4374cbf2cfdb39bb77ff6980af75.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:14.863ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle {\rm {e=2{,}71828\ldots }}}" loading="lazy">

<ul><li>Weil jede rationale Zahl algebraisch – um genau zu sein, algebraisch vom Grad 1 – ist, ist jede reelle transzendente Zahl irrational.</li></ul></li></ul>

Die Menge der irrationalen Zahlen lässt sich als <a href="Differenzmenge" class="mw-redirect" title="Differenzmenge">Differenzmenge</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {R} \setminus \mathbb {Q} }">

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {R} \setminus \mathbb {Q} }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7b6fd71ef4234ec6b082406bf213894f4592bdf1.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:5.681ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {R} \setminus \mathbb {Q} }" loading="lazy"> schreiben, wobei <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {R} }">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {R} }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/786849c765da7a84dbc3cce43e96aad58a5868dc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.678ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {R} }" loading="lazy"> die Menge der reellen Zahlen und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {Q} }">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {Q} }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c5909f0b54e4718fa24d5fd34d54189d24a66e9a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.808ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {Q} }" loading="lazy"> die Menge der rationalen Zahlen bezeichnet.

In der <a href="Zahlentheorie" title="Zahlentheorie">Zahlentheorie</a>, wo sich viele Untersuchungen in <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {C} }">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {C} }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f9add4085095b9b6d28d045fd9c92c2c09f549a7.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.678ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {C} }" loading="lazy">, dem <a href="K%C3%B6rper_der_komplexen_Zahlen" class="mw-redirect" title="Körper der komplexen Zahlen">Körper der komplexen Zahlen</a>, abspielen, versteht man hingegen unter einer irrationalen Zahl nicht selten eine Zahl aus der Differenzmenge <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {C} \setminus \mathbb {Q} }">

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {C} \setminus \mathbb {Q} }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b9b035ddc01f3c2916495b9677bf5359c9577073.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:5.681ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {C} \setminus \mathbb {Q} }" loading="lazy">. Insbesondere ist in diesem Sinne jede <a href="Rein_imagin%C3%A4re_Zahl" class="mw-redirect" title="Rein imaginäre Zahl">rein imaginäre Zahl</a> - und speziell die <a href="Imagin%C3%A4re_Einheit" class="mw-redirect" title="Imaginäre Einheit">imaginäre Einheit</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathrm {i} }">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathrm {i} }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/18f0f09f6fc40e634d34aed6e205ac0f7a40e062.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:0.647ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \mathrm {i} }" loading="lazy"> ! - eine irrationale Zahl.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Entdeckung_der_Irrationalität">Entdeckung der Irrationalität</h2></div>

Den ersten Beweis für irrationale Größenverhältnisse gab es in der griechischen Antike im 5. Jahrhundert v. Chr. bei den <a href="Pythagoreer" title="Pythagoreer">Pythagoreern</a>. Definitionen für irrationale Zahlen, die den heutigen Ansprüchen an Exaktheit genügen, finden sich bereits in den <a href="Euklids_Elemente" class="mw-redirect" title="Euklids Elemente">Elementen</a> von <a href="Euklid" title="Euklid">Euklid</a>. Übersetzungen in die heutige Sprache der Mathematik gaben zuerst <a href="Karl_Weierstra%C3%9F" title="Karl Weierstraß">Karl Weierstraß</a> und <a href="Richard_Dedekind" title="Richard Dedekind">Richard Dedekind</a> an.<a href="#cite_note-3">[2]</a>

Hat man ein <a href="Quadrat" title="Quadrat">Quadrat</a> mit der Seitenlänge <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 1}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 1}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/92d98b82a3778f043108d4e20960a9193df57cbf.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.162ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle 1}" loading="lazy"> und berechnet dessen <a href="Diagonale_(Geometrie)" title="Diagonale (Geometrie)">Diagonale</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle d}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle d}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e85ff03cbe0c7341af6b982e47e9f90d235c66ab.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.216ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle d}" loading="lazy">, folgt aus dem <a href="Satz_des_Pythagoras" title="Satz des Pythagoras">Satz des Pythagoras</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle d^{2}=1^{2}+1^{2},}">

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle d^{2}=1^{2}+1^{2},}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b3a72fb0ca3cbaf0d6b11b7fc79297790a15816d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:13.291ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle d^{2}=1^{2}+1^{2},}" loading="lazy"> also <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle d^{2}=2}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle d^{2}=2}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2f967f5db5c20feb8046fca6d69f8e628ab2289e.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:6.533ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle d^{2}=2}" loading="lazy">. Die positive Lösung dieser Gleichung bezeichnet man heute mit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\sqrt {2}}}">

<msqrt>

</msqrt>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\sqrt {2}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b4afc1e27d418021bf10898eb44a7f5f315735ff.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:3.098ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle {\sqrt {2}}}" loading="lazy">. Für griechische Mathematiker stellte sich die Frage, ob sich die Länge dieser Diagonalen exakt durch ein Verhältnis zweier <a href="Nat%C3%BCrliche_Zahl" title="Natürliche Zahl">natürlicher Zahlen</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle p}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle p}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/81eac1e205430d1f40810df36a0edffdc367af36.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; margin-left: -0.089ex; width:1.259ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle p}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle q}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle q}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/06809d64fa7c817ffc7e323f85997f783dbdf71d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.07ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle q}" loading="lazy">, also einen <a href="Rationale_Zahl" title="Rationale Zahl">Bruch</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle p/q}">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle p/q}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/8fa5bd4cf049744deac0ac4a04c07998bd6befa9.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; margin-left: -0.089ex; width:3.491ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle p/q}" loading="lazy">, darstellen lässt. Schon <a href="Euklids_Beweis_f%C3%BCr_Irrationalit%C3%A4t_von_Wurzel_2" class="mw-redirect" title="Euklids Beweis für Irrationalität von Wurzel 2">Euklid bewies</a> durch Widerspruch, dass dies unmöglich ist; sein Beweis wird heute noch in der Schule gelehrt. Ob die Entdeckung der Irrationalität durch Anwendung des pythagoräischen Lehrsatzes auf ein Quadrat erfolgte oder, wie <a href="Kurt_von_Fritz" title="Kurt von Fritz">Kurt von Fritz</a> meinte, durch stetige Teilung am <a href="Pentagramm" title="Pentagramm">Pentagramm</a>, ist unbekannt.<a href="#cite_note-4">[3]</a>

Die ältere wissenschaftsgeschichtliche Forschung nahm an, dass die Entdeckung der Irrationalität zu einer Grundlagenkrise der damaligen griechischen Mathematik oder der pythagoreischen Zahlenlehre führte. Man sei nämlich vorher von der Grundvoraussetzung ausgegangen, dass alles durch ganzzahlige Zahlverhältnisse ausdrückbar sei, und die Widerlegung dieser Ansicht habe das Weltbild der Pythagoreer erschüttert. Damit wurde eine antike Legende in Zusammenhang gebracht, wonach der Pythagoreer <a href="Hippasos_von_Metapont" title="Hippasos von Metapont">Hippasos von Metapont</a> im 5. Jahrhundert v. Chr. durch die schriftliche Bekanntmachung dieser Entdeckung einen Geheimnisverrat begangen habe und später im Meer ertrunken sei, was als göttliche Strafe gedeutet wurde. Ein Teil der Quellen überliefert, Hippasos selbst habe die Irrationalität entdeckt. Wissenschaftshistoriker gehen heute davon aus, dass es eine solche Krise nicht gegeben hat und die Irrationalität nicht als Geheimnis betrachtet wurde. Eine mögliche Erklärung der Verratslegende ist, dass sie durch ein Missverständnis entstand, weil das griechische Eigenschaftswort, das für „irrational“ (im mathematischen Sinn) verwendet wurde, zugleich die Bedeutungen „unsagbar“ und „geheim“ hatte.<a href="#cite_note-5">[4]</a> Tatsache ist aber auch, dass sich die griechische Mathematik in der Zeit nach Hippasos grundlegend veränderte.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Zahlen,_deren_Irrationalität_bewiesen_ist">Zahlen, deren Irrationalität bewiesen ist</h2></div>

<ul><li>Schon der Pythagoreer <a href="Archytas_von_Tarent" title="Archytas von Tarent">Archytas von Tarent</a> bewies die Irrationalität von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\sqrt {\tfrac {m+1}{m}}}}">

<msqrt>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mstyle>

</msqrt>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\sqrt {\tfrac {m+1}{m}}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/8a4cd0c2c86feb7ba8f5e3c7b44ab6a86fdd0442.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.671ex; width:6.703ex; height:4.843ex;" alt="{\displaystyle {\sqrt {\tfrac {m+1}{m}}}}" loading="lazy"> für natürliche Zahlen <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle m}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle m}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0a07d98bb302f3856cbabc47b2b9016692e3f7bc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.04ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle m}" loading="lazy">. Der Beweis für den Fall <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle m=1}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle m=1}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b6100c5ebd48c6fd848709f2be624465203eb173.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:6.301ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle m=1}" loading="lazy"> (<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\sqrt {2}}}">

<msqrt>

</msqrt>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\sqrt {2}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b4afc1e27d418021bf10898eb44a7f5f315735ff.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:3.098ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle {\sqrt {2}}}" loading="lazy">) ist in Euklids Elementen überliefert (<a href="Beweis_der_Irrationalit%C3%A4t_der_Wurzel_aus_2_bei_Euklid" title="Beweis der Irrationalität der Wurzel aus 2 bei Euklid">Euklids Beweis der Irrationalität der Wurzel aus 2</a>). Den Satz des Archytas verallgemeinerte Euklid selbst in seiner Musiktheorie, in der er die Irrationalität beliebiger Wurzeln <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\sqrt[{n}]{\tfrac {m+1}{m}}}}">

<mroot>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mstyle>

</mrow>

</mroot>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\sqrt[{n}]{\tfrac {m+1}{m}}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ca3864b8b0e7089d0adf4aa06c0952e392781d5d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.671ex; width:6.703ex; height:4.843ex;" alt="{\displaystyle {\sqrt[{n}]{\tfrac {m+1}{m}}}}" loading="lazy"> bewies.</li>

<li>Eine weitere wichtige quadratische Irrationalität ist der <a href="Goldener_Schnitt" title="Goldener Schnitt">Goldene Schnitt</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \textstyle \Phi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}}">

<mfrac>

<mrow>

<msqrt>

</msqrt>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \textstyle \Phi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/416b4bccde258e12acce8c7869b6ca46b77f4553.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.171ex; width:9.904ex; height:4.176ex;" alt="{\displaystyle \textstyle \Phi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}}" loading="lazy">.</li>

<li>Die <a href="Eulersche_Zahl" title="Eulersche Zahl">Eulersche Zahl</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathrm {e} }">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathrm {e} }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/3a1f6ea7bf1c1e53e8200cb7e2917ccb23df457b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.032ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle \mathrm {e} }" loading="lazy"> ist irrational. Dies wurde von <a href="Leonhard_Euler" title="Leonhard Euler">Leonhard Euler</a> 1737 <a href="Beweis_der_Irrationalit%C3%A4t_der_eulerschen_Zahl" title="Beweis der Irrationalität der eulerschen Zahl">bewiesen</a>. Ihre <a href="Transzendente_Zahl" title="Transzendente Zahl">Transzendenz</a> wurde 1873 von <a href="Charles_Hermite" title="Charles Hermite">Charles Hermite</a> bewiesen.</li>

<li>1761 bewies <a href="Johann_Heinrich_Lambert" title="Johann Heinrich Lambert">Johann Heinrich Lambert</a> die Irrationalität der <a href="Kreiszahl" title="Kreiszahl">Kreiszahl</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \pi }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \pi }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9be4ba0bb8df3af72e90a0535fabcc17431e540a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.332ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle \pi }" loading="lazy">, ihre Transzendenz wurde 1882 von <a href="Ferdinand_von_Lindemann" title="Ferdinand von Lindemann">Ferdinand von Lindemann</a> bewiesen.</li>

<li>Die nichtganzzahligen Nullstellen eines normierten Polynomes <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\dotsb +a_{0}}">

<msup>

</mrow>

</msup>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\dotsb +a_{0}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/daf488dc2dcb60fee1f3199323031fa3ade37278.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:25.274ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\dotsb +a_{0}}" loading="lazy"> mit ganzzahligen Koeffizienten sind irrational. Insbesondere sind die Quadratwurzeln aus Nichtquadratzahlen <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\sqrt {2}},{\sqrt {3}},{\sqrt {5}},{\sqrt {6}},\dotsc }">

<msqrt>

</msqrt>

</mrow>

<msqrt>

</msqrt>

</mrow>

<msqrt>

</msqrt>

</mrow>

<msqrt>

</msqrt>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\sqrt {2}},{\sqrt {3}},{\sqrt {5}},{\sqrt {6}},\dotsc }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/3be453006a1bd3cf0cd0e5029c7b2246c92bc029.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:19.252ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle {\sqrt {2}},{\sqrt {3}},{\sqrt {5}},{\sqrt {6}},\dotsc }" loading="lazy"> irrational.</li>

<li>Im Jahr 1979 bewies <a href="Roger_Ap%C3%A9ry" title="Roger Apéry">Roger Apéry</a> die Irrationalität der <a href="Ap%C3%A9ry-Konstante" title="Apéry-Konstante">Apéry-Konstante</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \textstyle \zeta (3)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{3}}}}">

</mrow>

</mrow>

</munderover>

<mfrac>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \textstyle \zeta (3)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{3}}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c785f1e40015ddd89121a1816c8c6f264848e1e6.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.505ex; width:15.979ex; height:3.843ex;" alt="{\displaystyle \textstyle \zeta (3)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{3}}}}" loading="lazy">.<a href="#cite_note-6">[5]</a></li>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\rm {e^{\alpha }}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/5dbbc795e2f7922a874ebde93f2e9f82f2f26bf1.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.317ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle {\rm {e^{\alpha }}}}" loading="lazy"> ist für jede algebraische Zahl <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\alpha }\neq 0}">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\alpha }\neq 0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/95cf8ca51043e11415424e4071eb8becdb1204ee.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:5.749ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle {\alpha }\neq 0}" loading="lazy"> transzendent (siehe <a href="Satz_von_Lindemann-Weierstra%C3%9F" title="Satz von Lindemann-Weierstraß">Satz von Lindemann-Weierstraß</a>)</li>

<li>Die Transzendenz (und damit die Irrationalität) der <a href="Gelfond-Konstante" title="Gelfond-Konstante">Gelfond-Konstanten</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\rm {e^{\pi }}}}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\rm {e^{\pi }}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/8e2ee2a8dda533487c2118dff3b90dabcbb6f7a9.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.207ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle {\rm {e^{\pi }}}}" loading="lazy"> und die der <a href="Gelfond-Schneider-Konstante" class="mw-redirect" title="Gelfond-Schneider-Konstante">Gelfond-Schneider-Konstanten</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 2^{\sqrt {2}}}">

<msup>

<msqrt>

</msqrt>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 2^{\sqrt {2}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2fe00689bdab9da3d6cd6015ca5e26c5702eaf22.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:3.586ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle 2^{\sqrt {2}}}" loading="lazy"> sowie die deren <a href="Quadratwurzel" title="Quadratwurzel">Quadratwurzel</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\sqrt {2}}^{\sqrt {2}}={\sqrt {2^{\sqrt {2}}}}}">

<msup>

<msqrt>

</msqrt>

</mrow>

<msqrt>

</msqrt>

</mrow>

</msup>

<msqrt>

<msup>

<msqrt>

</msqrt>

</mrow>

</msup>

</msqrt>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\sqrt {2}}^{\sqrt {2}}={\sqrt {2^{\sqrt {2}}}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a660ec59ea7b1b32c555a02ed82e7247a1993d30.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.171ex; width:14.529ex; height:4.843ex;" alt="{\displaystyle {\sqrt {2}}^{\sqrt {2}}={\sqrt {2^{\sqrt {2}}}}}" loading="lazy"> folgen aus dem <a href="Satz_von_Gelfond-Schneider" title="Satz von Gelfond-Schneider">Satz von Gelfond-Schneider</a>.<a href="#cite_note-7">[H 2]</a></li>

<li>Die <a href="Lemniskatische_Konstante" title="Lemniskatische Konstante">lemniskatische Konstante</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \varpi =2{,}622057\ldots }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \varpi =2{,}622057\ldots }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/cceb7a00f97594102f9004b50e6b6e95f87790bc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:16.917ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \varpi =2{,}622057\ldots }" loading="lazy"> ist transzendent (<a href="Theodor_Schneider_(Mathematiker)" title="Theodor Schneider (Mathematiker)">Theodor Schneider</a>, 1937).</li>

<li>Im Jahr 1963 bewies <a href="Solomon_W._Golomb" title="Solomon W. Golomb">Solomon W. Golomb</a> die Irrationalität der Summe der <a href="Kehrwert" title="Kehrwert">Kehrwerte</a> aller <a href="Fermat-Zahl" title="Fermat-Zahl">Fermat-Zahlen</a>.<a href="#cite_note-8">[6]</a><a href="#cite_note-9">[H 3]</a></li>

<li>Alle <a href="Liouvillesche_Zahl" title="Liouvillesche Zahl">liouvilleschen Zahlen</a> sind transzendent und damit irrational.</li>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \tan a\,}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/249420316f96ca41c7e451d827ebf2697d4a0739.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.364ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle \tan a\,}" loading="lazy"> ist für jede rationale Zahl <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a\neq 0}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a\neq 0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f455a7f96d74aa94573d8e32da3b240ab0aa294f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:5.491ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle a\neq 0}" loading="lazy"> stets irrational, was wiederum wegen der Rationalität von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \tan \left({\tfrac {\pi }{4}}\right)=1}">

<mrow>

<mfrac>

</mfrac>

</mstyle>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \tan \left({\tfrac {\pi }{4}}\right)=1}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d8fd2a4609e3b3a18faa6a997b1586bccb7e2dad.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:12.174ex; height:4.843ex;" alt="{\displaystyle \tan \left({\tfrac {\pi }{4}}\right)=1}" loading="lazy"> die Irrationalität von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \pi }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \pi }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9be4ba0bb8df3af72e90a0535fabcc17431e540a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.332ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle \pi }" loading="lazy"> nach sich zieht.<a href="#cite_note-10">[7]</a>

<ul><li>Überdies ist nach dem <a href="Satz_von_Lindemann-Weierstra%C3%9F" title="Satz von Lindemann-Weierstraß">Satz von Lindemann-Weierstraß</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \tan a\,}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \tan a\,}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/249420316f96ca41c7e451d827ebf2697d4a0739.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.364ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle \tan a\,}" loading="lazy"> für jede algebraische (und damit auch für jede rationale) Zahl <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a\neq 0}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a\neq 0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f455a7f96d74aa94573d8e32da3b240ab0aa294f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:5.491ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle a\neq 0}" loading="lazy"> transzendent.</li></ul></li>

<li>Bewiesen ist ebenfalls, dass <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\tfrac {\left(\Gamma \left({\tfrac {1}{4}}\right)\right)^{2}}{\sqrt[{4\,}]{\pi }}}}">

<mfrac>

<msup>

<mrow>

<mrow>

<mrow>

<mfrac>

</mfrac>

</mstyle>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</msup>

<mroot>

</mrow>

</mroot>

</mfrac>

</mstyle>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\tfrac {\left(\Gamma \left({\tfrac {1}{4}}\right)\right)^{2}}{\sqrt[{4\,}]{\pi }}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/178dd4f044e6bdf0c208877d6ad1afb240800a76.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.171ex; width:9.191ex; height:7.843ex;" alt="{\displaystyle {\tfrac {\left(\Gamma \left({\tfrac {1}{4}}\right)\right)^{2}}{\sqrt[{4\,}]{\pi }}}}" loading="lazy"> als transzendente Zahl irrational ist, während die Irrationalität von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \Gamma \left({\tfrac {1}{4}}\right)}">

<mrow>

<mfrac>

</mfrac>

</mstyle>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Gamma \left({\tfrac {1}{4}}\right)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/cd6589edcd982886819ff1905c29ba43080eccd2.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:6.273ex; height:4.843ex;" alt="{\displaystyle \Gamma \left({\tfrac {1}{4}}\right)}" loading="lazy"> fraglich ist.<a href="#cite_note-11">[8]</a></li></ul>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Zahlen,_deren_Irrationalität_vermutet_wird">Zahlen, deren Irrationalität vermutet wird</h2></div>

<ul><li>Die Irrationalität der Zahlen <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \pi +\mathrm {e} ,\pi -\mathrm {e} ,\pi \cdot \mathrm {e} ,\pi /\mathrm {e} }">

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \pi +\mathrm {e} ,\pi -\mathrm {e} ,\pi \cdot \mathrm {e} ,\pi /\mathrm {e} }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/95c40277736aa4255617c91f3094182b57c543be.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:21.082ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \pi +\mathrm {e} ,\pi -\mathrm {e} ,\pi \cdot \mathrm {e} ,\pi /\mathrm {e} }" loading="lazy"> wird vermutet, ist aber noch nicht bewiesen. Man kann aber leicht sehen, dass mindestens eine von einer beliebigen Paarbildung irrational sein muss. Dies gilt allgemein für zwei beliebige transzendente Zahlen <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ffd2487510aa438433a2579450ab2b3d557e5edc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.23ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle a}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle b.}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle b.}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/aef051eb30c89e5493d672f6479566c673b0890a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.644ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle b.}" loading="lazy"></li>

<li>Für kein einziges Paar ganzer, von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 0}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2aae8864a3c1fec9585261791a809ddec1489950.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.162ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle 0}" loading="lazy"> verschiedener Zahlen <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle m}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle m}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0a07d98bb302f3856cbabc47b2b9016692e3f7bc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.04ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle m}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.395ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle n}" loading="lazy"> ist bekannt, ob <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle m\cdot \pi +n\cdot \mathrm {e} }">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle m\cdot \pi +n\cdot \mathrm {e} }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/42aedca4b2155593531f6af63d8ab5639a2bf3e8.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:11.998ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle m\cdot \pi +n\cdot \mathrm {e} }" loading="lazy"> irrational ist. Bekannt ist jedoch, dass im Falle der Existenz rationaler Linearkombinationen der Wert <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle m/n}">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle m/n}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2eebcb27a9df80445dbe86eefee5d131d6e0e7e8.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.598ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle m/n}" loading="lazy"> einen konstanten Wert annimmt.</li>

<li>Weiterhin ist unbekannt, ob <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 2^{\mathrm {e} }}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 2^{\mathrm {e} }}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/18315d3c00d32fe98ca3cae3dc1761e67af6b05a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.125ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle 2^{\mathrm {e} }}" loading="lazy">, <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \pi ^{\mathrm {e} }}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \pi ^{\mathrm {e} }}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/15cb394e989cb19403c1ff124d9cddd0305f972c.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.296ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle \pi ^{\mathrm {e} }}" loading="lazy">, <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \pi ^{\sqrt {2}}}">

<msup>

<msqrt>

</msqrt>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \pi ^{\sqrt {2}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/1bf856484c8277fb3aec5271829d51c32de27ca2.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:3.757ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle \pi ^{\sqrt {2}}}" loading="lazy">, <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \pi ^{\pi }}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \pi ^{\pi }}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/fca51740a9e8de79288a41996457b7f76861bc9a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.508ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle \pi ^{\pi }}" loading="lazy">, <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathrm {e} ^{\mathrm {e} }}">

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathrm {e} ^{\mathrm {e} }}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/17e0f0c1063832d7e91056cebff7306974fc4155.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.995ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle \mathrm {e} ^{\mathrm {e} }}" loading="lazy">, die <a href="Catalansche_Konstante" title="Catalansche Konstante">Catalansche Konstante</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle G=0{,}91596\ldots }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle G=0{,}91596\ldots }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f1b9e4ee0d3de6de29c3fb3ee456234427284bb3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:15.657ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle G=0{,}91596\ldots }" loading="lazy"> oder die <a href="Euler-Mascheroni-Konstante" title="Euler-Mascheroni-Konstante">Euler-Mascheroni-Konstante</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \gamma =0{,}57721\ldots }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \gamma =0{,}57721\ldots }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0df9d57c5d8402046c5823bf63a1d9dd2e084321.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:15.093ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle \gamma =0{,}57721\ldots }" loading="lazy"> irrational sind.</li></ul>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Die_Überabzählbarkeit_der_irrationalen_Zahlen">Die Überabzählbarkeit der irrationalen Zahlen</h2></div>

Wie das <a href="Cantor-Diagonalisierung" class="mw-redirect" title="Cantor-Diagonalisierung">erste Diagonalargument von Cantor</a> zeigt, ist die Menge der rationalen Zahlen <a href="Abz%C3%A4hlbare_Menge" title="Abzählbare Menge">abzählbar</a>. Es gibt also eine <a href="Folge_(Mathematik)" title="Folge (Mathematik)">Folge</a> rationaler Zahlen, die jede rationale Zahl enthält. <a href="Cantors_zweites_Diagonalargument" title="Cantors zweites Diagonalargument">Cantors zweites Diagonalargument</a> beweist, dass es <a href="%C3%9Cberabz%C3%A4hlbar" class="mw-redirect" title="Überabzählbar">überabzählbar</a> viele reelle Zahlen gibt. Das bedeutet gleichzeitig, dass es überabzählbar viele irrationale Zahlen geben muss;<a href="#cite_note-12">[H 4]</a> denn andernfalls wären die reellen Zahlen als Vereinigung zweier abzählbarer Mengen selbst abzählbar.

Cantor hat weiter gezeigt, dass auch die Menge der <a href="Algebraische_Zahl" title="Algebraische Zahl">algebraischen Zahlen</a>, wozu alle Wurzelausdrücke gehören, noch abzählbar ist. Darüber hinaus gilt, dass die algebraische <a href="H%C3%BCllenoperator" title="Hüllenoperator">Hülle</a> jeder abzählbaren Teilmenge der reellen oder komplexen Zahlen (solche Mengen können insbesondere aus transzendenten Zahlen bestehen) ebenfalls abzählbar ist, also sicher nicht alle reellen Zahlen enthält.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Irrationale_Exponenten">Irrationale Exponenten</h2></div>

Es gilt der Satz, dass in jedem Falle irrationale Zahlen <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a,b\in \mathbb {R} \setminus \mathbb {Q} }">

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a,b\in \mathbb {R} \setminus \mathbb {Q} }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/434471a6db99afe9aa2ab0e64373dec7b5344d48.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:11.783ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle a,b\in \mathbb {R} \setminus \mathbb {Q} }" loading="lazy"> existieren derart, dass <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a^{b}\in \mathbb {Q} }">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a^{b}\in \mathbb {Q} }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/97aadc76d7b3e9c2f253dd8ac4f9e8674d427d71.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:6.816ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle a^{b}\in \mathbb {Q} }" loading="lazy">, also rational ist.

Ein eleganter Beweis hierfür geht auf Dov Jarden<a href="#cite_note-13">[9]</a> aus dem Jahr 1953 zurück:

Seien zunächst

<msqrt>

</msqrt>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a=b={\sqrt {2}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/8cfa96b1d5656c4b847bb84ab943a71ab20bcd08.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:11.523ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle a=b={\sqrt {2}}}" loading="lazy"></dd></dl>

gesetzt. Die Zahl

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

<msqrt>

</msqrt>

</mrow>

<msqrt>

</msqrt>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a^{b}={\sqrt {2}}^{\sqrt {2}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b5ed062e461f1cc72b8ff2c6a66d12608d1e89b7.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:10.787ex; height:3.676ex;" alt="{\displaystyle a^{b}={\sqrt {2}}^{\sqrt {2}}}" loading="lazy"></dd></dl>

ist nach dem <a href="Satz_vom_ausgeschlossenen_Dritten" title="Satz vom ausgeschlossenen Dritten">Satz vom ausgeschlossenen Dritten</a> entweder rational oder irrational.<a href="#cite_note-14">[H 5]</a> Falls sie rational ist, ist die Aussage bereits gezeigt.

Ist sie indes irrational, so setzt man neu

<msup>

<msqrt>

</msqrt>

</mrow>

<msqrt>

</msqrt>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a={\sqrt {2}}^{\sqrt {2}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/13f6488178e1b6646218dd6a631bfd4f668f087e.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:9.85ex; height:3.676ex;" alt="{\displaystyle a={\sqrt {2}}^{\sqrt {2}}}" loading="lazy"></dd></dl>

und behält

<msqrt>

</msqrt>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle b={\sqrt {2}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e9ec1aee3feb4d5e7c32b13d22bbf9bb52d16c86.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:7.194ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle b={\sqrt {2}}}" loading="lazy"></dd></dl>

bei. Man gewinnt dann die Zahl

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

<msup>

<msqrt>

</msqrt>

</mrow>

<msqrt>

</msqrt>

</mrow>

</msup>

</mrow>

<msqrt>

</msqrt>

</mrow>

</msup>

<msup>

<msqrt>

</msqrt>

</mrow>

<msqrt>

</msqrt>

</mrow>

<msqrt>

</msqrt>

</mrow>

</mrow>

</msup>

<msup>

<msqrt>

</msqrt>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a^{b}={({\sqrt {2}}^{\sqrt {2}})}^{\sqrt {2}}={\sqrt {2}}^{({\sqrt {2}}\cdot {\sqrt {2}})}={({\sqrt {2}})}^{2}=2}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/99eb0beebee317034fa71016267e5746a50a951a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:40.889ex; height:4.676ex;" alt="{\displaystyle a^{b}={({\sqrt {2}}^{\sqrt {2}})}^{\sqrt {2}}={\sqrt {2}}^{({\sqrt {2}}\cdot {\sqrt {2}})}={({\sqrt {2}})}^{2}=2}" loading="lazy">.</dd></dl>

Und diese ist als <a href="Nat%C3%BCrliche_Zahl" title="Natürliche Zahl">natürliche Zahl</a> auch rational, womit die Aussage bewiesen ist.<a href="#cite_note-15">[10]</a>

Kurz gesagt gilt: Ist <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a={\sqrt {2}}^{\sqrt {2}}}">

<msup>

<msqrt>

</msqrt>

</mrow>

<msqrt>

</msqrt>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a={\sqrt {2}}^{\sqrt {2}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/13f6488178e1b6646218dd6a631bfd4f668f087e.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:9.85ex; height:3.676ex;" alt="{\displaystyle a={\sqrt {2}}^{\sqrt {2}}}" loading="lazy"> nicht schon rational, so ist es <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a^{\sqrt {2}}}">

<msup>

<msqrt>

</msqrt>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a^{\sqrt {2}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a7862b25c9f748e52fa8057c7de44543308413d0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:3.653ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle a^{\sqrt {2}}}" loading="lazy">.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Literatur">Literatur</h2></div>

<ul><li><a href="Peter_Bundschuh" title="Peter Bundschuh">Peter Bundschuh</a>: <cite style="font-style:italic">Einführung in die Zahlentheorie</cite> (= <cite style="font-style:italic">Springer-Lehrbuch</cite>). 6., überarbeitete und aktualisierte Auflage. Springer Verlag, Berlin / Heidelberg 2008, ISBN 978-3-540-76490-8.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Irrationale+Zahl&rft.au=Peter+Bundschuh&rft.btitle=Einf%C3%BChrung+in+die+Zahlentheorie&rft.date=2008&rft.edition=6.%2C+%C3%BCberarbeitete+und+aktualisierte&rft.genre=book&rft.isbn=9783540764908&rft.place=Berlin+%2F+Heidelberg&rft.pub=Springer+Verlag&rft.series=Springer-Lehrbuch" style="display:none"> </li>

<li><a href="John_H._Conway" class="mw-redirect" title="John H. Conway">John H. Conway</a>, <a href="Richard_K._Guy" class="mw-redirect" title="Richard K. Guy">Richard K. Guy</a>: <cite style="font-style:italic">Zahlenzauber: Von natürlichen, imaginären und anderen Zahlen</cite>. Aus dem Amerikan. von Manfred Stern. Springer Basel AG, Basel 1967, ISBN 978-3-0348-6085-7, <a href="Digital_Object_Identifier" title="Digital Object Identifier">doi</a>:<a rel="nofollow" class="external text" href="https://doi.org/10.1007/978-3-0348-6084-0">10.1007/978-3-0348-6084-0</a>.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Irrationale+Zahl&rft.au=John+H.+Conway%2C+Richard+K.+Guy&rft.btitle=Zahlenzauber%3A+Von+nat%C3%BCrlichen%2C+imagin%C3%A4ren+und+anderen+Zahlen&rft.date=1967&rft.doi=10.1007%2F978-3-0348-6084-0&rft.genre=book&rft.isbn=9783034860857&rft.place=Basel&rft.pub=Springer+Basel+AG" style="display:none"> </li>

<li>Steven R. Finch: <cite style="font-style:italic">Mathematical Constants</cite> (= <cite style="font-style:italic">Encyclopedia of Mathematics and its Applications</cite>. Band 94). <a href="Cambridge_University_Press" title="Cambridge University Press">Cambridge University Press</a>, Cambridge [u. a.] 2003, ISBN 0-521-81805-2.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Irrationale+Zahl&rft.au=Steven+R.+Finch&rft.btitle=Mathematical+Constants&rft.date=2003&rft.genre=book&rft.isbn=0521818052&rft.place=Cambridge+%5Bu.+a.%5D&rft.pub=Cambridge+University+Press&rft.series=Encyclopedia+of+Mathematics+and+its+Applications" style="display:none"> </li>

<li>Tom Müller: <cite style="font-style:italic">Irrationalitätsbeweise</cite> (= <cite style="font-style:italic">Berliner Studienreihe zur Mathematik</cite>. Band 25). <a href="Heldermann_Verlag" title="Heldermann Verlag">Heldermann Verlag</a>, Lemgo 2014, ISBN 978-3-88538-125-9.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Irrationale+Zahl&rft.au=Tom+M%C3%BCller&rft.btitle=Irrationalit%C3%A4tsbeweise&rft.date=2014&rft.genre=book&rft.isbn=9783885381259&rft.place=Lemgo&rft.pub=Heldermann+Verlag&rft.series=Berliner+Studienreihe+zur+Mathematik" style="display:none"> </li>

<li><a href="Oskar_Perron" title="Oskar Perron">Oskar Perron</a>: <cite style="font-style:italic">Irrationalzahlen</cite> (= <cite style="font-style:italic">Göschens Lehrbücherei, I. Gruppe</cite>. Band 1). 4., durchgesehene und ergänzte Auflage. <a href="Walter_de_Gruyter_%26_Co." class="mw-redirect" title="Walter de Gruyter & Co.">Walter de Gruyter & Co.</a>, Berlin 1960.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Irrationale+Zahl&rft.au=Oskar+Perron&rft.btitle=Irrationalzahlen&rft.date=1960&rft.edition=4.%2C+durchgesehene+und+erg%C3%A4nzte&rft.genre=book&rft.place=Berlin&rft.pub=Walter+de+Gruyter+%26+Co.&rft.series=G%C3%B6schens+Lehrb%C3%BCcherei%2C+I.+Gruppe" style="display:none"> </li>

<li><a href="Harald_Scheid" title="Harald Scheid">Harald Scheid</a>: <cite style="font-style:italic">Zahlentheorie</cite>. 3. Auflage. <a href="Spektrum_Akademischer_Verlag" class="mw-redirect" title="Spektrum Akademischer Verlag">Spektrum Akademischer Verlag</a>, Heidelberg / Berlin 2003, ISBN 3-8274-1365-6.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Irrationale+Zahl&rft.au=Harald+Scheid&rft.btitle=Zahlentheorie&rft.date=2003&rft.edition=3.&rft.genre=book&rft.isbn=3827413656&rft.place=Heidelberg+%2F+Berlin&rft.pub=Spektrum+Akademischer+Verlag" style="display:none"> </li>

<li><a href="Carl_Ludwig_Siegel" title="Carl Ludwig Siegel">Carl Ludwig Siegel</a>: <cite style="font-style:italic">Transzendente Zahlen</cite>. Übersetzung aus dem Englischen von B. Fuchssteiner und <a href="Detlef_Laugwitz" title="Detlef Laugwitz">D. Laugwitz</a> (= <cite style="font-style:italic">BI-Hochschultaschenbücher</cite>. Band 137*). <a href="Bibliographisches_Institut" title="Bibliographisches Institut">Bibliographisches Institut</a>, Mannheim 1967 (<a rel="nofollow" class="external text" href="https://zbmath.org/0167.32202">Eintrag im Zentralblatt (0167.32202)</a>).<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Irrationale+Zahl&rft.au=Carl+Ludwig+Siegel&rft.btitle=Transzendente+Zahlen&rft.date=1967&rft.genre=book&rft.place=Mannheim&rft.pub=Bibliographisches+Institut&rft.series=BI-Hochschultaschenb%C3%BCcher" style="display:none"> </li></ul>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Weblinks">Weblinks</h2></div>

<div class="sisterproject" style="margin:0.1em 0 0 0;"><div class="noresize noviewer" style="display:inline-block; line-height:10px; min-width:1.6em; text-align:center;" aria-hidden="true" role="presentation"></div><a class="external text" href="https://commons.wikimedia.org/wiki/Category:Irrational_numbers?uselang=de">Commons: Irrationale Zahlen</a> – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien</div>

<ul><li><a rel="nofollow" class="external text" href="https://www.spektrum.de/lexikon/mathematik/irrationale-zahl/7118">Eintrag irrationale Zahl im Lexikon der Mathematik (2017)</a></li>

<li><a rel="nofollow" class="external text" href="https://encyclopediaofmath.org/wiki/Irrational_number">Eintrag Irrational number in der Encyclopedia of Mathematics (EoM)</a></li></ul>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Einzelnachweise">Einzelnachweise</h2></div>

<li id="cite_note-2"><a href="#cite_ref-2">↑</a> Jürgen Koch, Martin Stämpfle: Mathematik für das Ingenieurstudium. 4. Auflage. Hanser, 2018, S. 29.

</li>

<li id="cite_note-3"><a href="#cite_ref-3">↑</a> Lucio Russo: Die vergessene Revolution oder die Wiedergeburt des antiken Wissens. Springer, Berlin / Heidelberg / New York 2005, ISBN 978-3-540-20938-6, S. 53–56.

</li>

<li id="cite_note-4"><a href="#cite_ref-4">↑</a> Walter Burkert: Weisheit und Wissenschaft. Studien zu Pythagoras, Philolaos und Platon. Carl, Nürnberg 1962, S. 430–440.

</li>

<li id="cite_note-5"><a href="#cite_ref-5">↑</a> Walter Burkert: Weisheit und Wissenschaft. Studien zu Pythagoras, Philolaos und Platon. Carl, Nürnberg 1962, S. 436 f.

</li>

<li id="cite_note-6"><a href="#cite_ref-6">↑</a> Roger Apéry: <cite style="font-style:italic">Irrationalité de ζ (2) et ζ (3)</cite>. In: <cite style="font-style:italic">Astérisque</cite>. Nr. 61, 1979, S. 11–13.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Ajournal&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Irrationale+Zahl&rft.atitle=Irrationalit%C3%A9+de+%CE%B6+%282%29++et+%CE%B6+%283%29&rft.au=Roger+Ap%C3%A9ry&rft.date=1979&rft.genre=journal&rft.issue=61&rft.jtitle=Ast%C3%A9risque&rft.pages=11-13" style="display:none">

</li>

<li id="cite_note-8"><a href="#cite_ref-8">↑</a> <a href="Solomon_W._Golomb" title="Solomon W. Golomb">Solomon W. Golomb</a>: <a rel="nofollow" class="external text" href="https://web.archive.org/web/20160321234733/http://cms.math.ca/openaccess/cjm/v15/cjm1963v15.0475-0478.pdf">On the sum of the reciprocals of the Fermat numbers and related irrationalities.</a> <a href="Canadian_Mathematical_Society" title="Canadian Mathematical Society">Canad. J. Math.</a>, Vol. 15, 1963, S. 475–478, archiviert vom <style data-mw-deduplicate="TemplateStyles:r250917974">

/* start https://de.wikipedia.org/ */

.mw-parser-output .dewiki-iconexternal>a{background-position:center right!important;background-repeat:no-repeat!important}body.skin-minerva .mw-parser-output .dewiki-iconexternal>a{background-image:url("./_mw_/OOjs_UI_icon_external-link-ltr-progressive.svg")!important;background-size:10px!important;padding-right:13px!important}body.skin-timeless .mw-parser-output .dewiki-iconexternal>a,body.skin-monobook .mw-parser-output .dewiki-iconexternal>a{background-image:url("./_mw_/MediaWiki_external_link_icon.svg")!important;padding-right:13px!important}body.skin-vector .mw-parser-output .dewiki-iconexternal>a{background-image:url("./_mw_/Link.ernal-small-ltr-progressive.svg")!important;background-size:0.857em!important;padding-right:1em!important}

/* end https://de.wikipedia.org/ */

</style><a class="external text" href="https://redirecter.toolforge.org/?url=https%3A%2F%2Fcms.math.ca%2Fopenaccess%2Fcjm%2Fv15%2Fcjm1963v15.0475-0478.pdf">Original</a> am 21. März 2016; abgerufen am 9. August 2016.<span style="display: none;" class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Adc&rfr_id=info%3Asid%2Fde.wikipedia.org%3AIrrationale+Zahl&rft.title=On+the+sum+of+the+reciprocals+of+the+Fermat+numbers+and+related+irrationalities&rft.description=On+the+sum+of+the+reciprocals+of+the+Fermat+numbers+and+related+irrationalities&rft.identifier=https%3A%2F%2Fweb.archive.org%2Fweb%2F20160321234733%2Fhttp%3A%2F%2Fcms.math.ca%2Fopenaccess%2Fcjm%2Fv15%2Fcjm1963v15.0475-0478.pdf&rft.creator=%5B%5BSolomon+W.+Golomb%5D%5D&rft.publisher=%5B%5BCanadian+Mathematical+Society%7CCanad.+J.+Math.%5D%5D%2C+Vol.+%27%27%2715%27%27%27&rft.date=1963&rft.source=https://cms.math.ca/openaccess/cjm/v15/cjm1963v15.0475-0478.pdf">

</li>

<li id="cite_note-10"><a href="#cite_ref-10">↑</a> Carl Ludwig Siegel: <cite style="font-style:italic">Transzendente Zahlen</cite> (= <cite style="font-style:italic">BI-Hochschultaschenbücher</cite>. Band 137*). Bibliographisches Institut, Mannheim 1967, S. 18.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Irrationale+Zahl&rft.au=Carl+Ludwig+Siegel&rft.btitle=Transzendente+Zahlen&rft.date=1967&rft.genre=book&rft.pages=18&rft.place=Mannheim&rft.pub=Bibliographisches+Institut&rft.series=BI-Hochschultaschenb%C3%BCcher" style="display:none">

</li>

<li id="cite_note-11"><a href="#cite_ref-11">↑</a> Carl Ludwig Siegel: <cite style="font-style:italic">Transzendente Zahlen</cite> (= <cite style="font-style:italic">BI-Hochschultaschenbücher</cite>. Band 137*). Bibliographisches Institut, Mannheim 1967, S. 81.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Irrationale+Zahl&rft.au=Carl+Ludwig+Siegel&rft.btitle=Transzendente+Zahlen&rft.date=1967&rft.genre=book&rft.pages=81&rft.place=Mannheim&rft.pub=Bibliographisches+Institut&rft.series=BI-Hochschultaschenb%C3%BCcher" style="display:none">

</li>

<li id="cite_note-13"><a href="#cite_ref-13">↑</a> <a rel="nofollow" class="external text" href="https://zbmath.org/authors/?q=ai%3AJarden.dov">"Jarden, Dov" in der Datenbank zbMATH Open</a>

</li>

<li id="cite_note-15"><a href="#cite_ref-15">↑</a> <a rel="nofollow" class="external text" href="https://queuea9.wordpress.com/2015/01/27/the-square-root-of-two-proof/">The square root of two proof.</a> In: QA9. 27. Januar 2015, abgerufen am 16. Juli 2024 (englisch).<span style="display: none;" class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Adc&rfr_id=info%3Asid%2Fde.wikipedia.org%3AIrrationale+Zahl&rft.title=The+square+root+of+two+proof&rft.description=The+square+root+of+two+proof&rft.identifier=https%3A%2F%2Fqueuea9.wordpress.com%2F2015%2F01%2F27%2Fthe-square-root-of-two-proof%2F&rft.date=2015-01-27&rft.language=en">

</li>

</ol>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Hinweise">Hinweise</h2></div>

<li id="cite_note-1"><a href="#cite_ref-1">↑</a> Für die Menge der irrationalen reellen Zahlen wird manchmal das Kürzel <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {I} }">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {I} }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/8205f06e0d279689ed04a1ac04a3d9c249c637df.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:0.905ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {I} }" loading="lazy"> verwandt.

</li>

<msup>

<msqrt>

</msqrt>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 2^{\sqrt {2}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2fe00689bdab9da3d6cd6015ca5e26c5702eaf22.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:3.586ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle 2^{\sqrt {2}}}" loading="lazy"> transzendent ist, hat auch <a href="Carl_Ludwig_Siegel" title="Carl Ludwig Siegel">Carl Ludwig Siegel</a> bewiesen.

</li>

</mrow>

</mrow>

</munderover>

<mfrac>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</munderover>

<mfrac>

<mrow>

<msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{F_{n}}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{2^{2^{n}}+1}}\approx 0{,}59606317211782167942379392586279}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/62dcba759c76be2a195e2a27e6d3e97c24bf5dba.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.005ex; width:64.259ex; height:6.843ex;" alt="{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{F_{n}}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{2^{2^{n}}+1}}\approx 0{,}59606317211782167942379392586279}" loading="lazy"> (Folge <a href="https://oeis.org/A051158" class="extiw external" title="oeis:A051158">A051158</a> in <a href="On-Line_Encyclopedia_of_Integer_Sequences" title="On-Line Encyclopedia of Integer Sequences">OEIS</a>).

</li>

<li id="cite_note-12"><a href="#cite_ref-12">↑</a> Das bedeutet insbesondere, dass sich nicht alle irrationalen Zahlen „darstellen“ oder „berechnen“ lassen.

</li>

<li id="cite_note-14"><a href="#cite_ref-14">↑</a> Dass nach dem schon erwähnten Gelfond-Schneider'schen Satz <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\sqrt {2}}^{\sqrt {2}}}">

<msup>

<msqrt>

</msqrt>

</mrow>

<msqrt>

</msqrt>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\sqrt {2}}^{\sqrt {2}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/50fb2611d11dbc1741aefae7aea2bd2b317a768f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:5.521ex; height:3.676ex;" alt="{\displaystyle {\sqrt {2}}^{\sqrt {2}}}" loading="lazy"> transzendent und damit insbesondere irrational ist, spielt für diesen Beweisgedanken keine Rolle.

</li>

</ol>

<div>

Normdaten (Sachbegriff): <a href="Gemeinsame_Normdatei" title="Gemeinsame Normdatei">GND</a>: <a rel="nofollow" class="external text" href="https://d-nb.info/gnd/4162426-9">4162426-9</a> </div>

</div></div></div><div><div class="zim-footer">

Dieser Artikel wurde von <a class="external text" title="Zuletzt bearbeitet am 2025-08-10" href="https://de.wikipedia.org/wiki/?title=Irrationale_Zahl&oldid=258730539">Wikipedia</a> herausgegeben. Der Text ist unter <a class="external text" href="https://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0/deed.de">Creative Commons Attribution-Share Alike 4.0</a> verfügbar, sofern nicht anders angegeben. Für die Mediendateien können zusätzliche Bedingungen gelten.

</div>

</div></div>

</div>

</main>

</div>

</body></html>